第九章 多元函数微分学

第一节 多元函数的基本概念

一、多元函数的概念

设 $D$ 为二维平面 $xOy$ 上的非空集合，$f$ 为对应法则，若对任一 $(x,y) \in D$，按对应法则 $f$ 有唯一确定的函数值 $z$ 与之对应，则称 $z = f(x,y)$ 为区域 $D$ 上的二元函数。

其中 $x, y$ 为自变量，$z$ 为因变量，区域 $D$ 为函数 $z = f(x,yp)$ 的定义域。

常见的二元函数：

• $z = x^2 + y^2$
• $z = 3x - y + 2$

类似地，可定义三元函数 $u = f(x,y,z), (x,y,z) \in D$，或者更一般的 $n$ 元函数：
$$z = f(x_1, x_2, \cdots, x_n), \quad (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in D$$

二、二元函数的二重极限

点 $(x_0, y_0)$ 的去心邻域的定义

设点 $P_0(x_0, y_0)$ 为 $xOy$ 平面内的点，对于 $P_0$ 附近任一点 $P(x, y)$，两点间的距离 $\rho = |P_0P| = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$。若 $0 < \rho < \delta$，则称满足该不等式的集合为点 $P_0(x_0, y_0)$ 的去心邻域（即将一维数轴拓展到二维平面）。

二重极限的定义

对于二元函数 $z = f(x, y)$，$\lim_{\substack{x \to x_0 \ y \to y_0}} f(x, y) = A \iff$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当 } 0 < \rho = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \text{ 时，有 } |f(x, y) - A| < \varepsilon.$

二重极限 $\lim_{\substack{x \to x_0 \ y \to y_0}} f(x, y)$ 也有一元函数极限的三个性质：唯一性、局部保号性与局部有界性。